Question

15．在曲线y=x²（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为$\frac{2}{3}$，则切点A的坐标为（　　）

• A． （1，1）
• B． （2，4）
• C． （$\sqrt{2}$，2）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 设A（m，m²），求出y=x²（x≥0）的导数，可得切线的斜率，求得切线的方程，运用定积分和三角形的面积公式可得，${∫}_{0}^{m}$x²dx-$\frac{1}{2}$m²•（m-$\frac{m}{2}$）=$\frac{2}{3}$，计算即可得到切点A的坐标．

解答 解：设A（m，m²），y=x²（x≥0）的导数为y′=2x，
可得切线的斜率为2m，
切线的方程为y-m²=2m（x-m），
令y=0，可得x=$\frac{m}{2}$，
由题意可得${∫}_{0}^{m}$x²dx-$\frac{1}{2}$m²•（m-$\frac{m}{2}$）=$\frac{2}{3}$，
即有$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{0}^{m}$-$\frac{1}{4}$m³=$\frac{2}{3}$，
即为$\frac{1}{3}$m³-$\frac{1}{4}$m³=$\frac{2}{3}$，解得m=2，
即有A（2，4）．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查面积的求法，运用定积分和三角形的面积公式是解题的关键，属于中档题．