题目内容

O是△ABC所在平面上一点，∠C=60°，
OA
+
OB
+
OC
=
0
，
CA
•
CB
=4
3
，则△AOB的面积为
 
．
分析：由题意可得O为△ABC的重心，
CA
•
CB
=4
3
=CA•CB•
1
2
，可得 CA•CB=8
3
．再根据△AOB的面积为
1
2
•CA•CB•sin60°，计算求得结果．
解答：解：∵△ABC中，
OA
+
OB
+
OC
=
0
，
∴O为△ABC的重心．
∵∠C=60°，
CA
•
CB
=4
3
=CA•CB•cosC=CA•CB•
1
2
，
∴CA•CB=8
3
．
∴△AOB的面积为
1
2
•CA•CB•sinC=
1
2
•8
3
•
3
2
=6，
故答案为：6．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求三角形的面积，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知：O是△ABC所在平面上的一点且满足：
OA
+
sinA
sinA+sinB
(
OB
-
OA
)+
sinB
sinB+sinA
(
OC
-
OA
)=
0
，则点O在（　　）
A、AB边上B、AC边上
C、BC边上D、△ABC内心
已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若a
OA
+b
OB
+c
OC
=
0
，则O是△ABC的（　　）
已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且4
OA
+
OB
+
OC
=
0
，那么（　　）
在△ABC中，给出如下命题：
①若
AC
•
AB
＞0，则△ABC为锐角三角形；
②O是△ABC所在平面内一定点，且满足
OA
•
OB
=
OB
•
OC
=
OC
•
OA
，则O是△ABC的垂心；
③O是△ABC所在平面内一定点，动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞)，则动点P一定过△ABC的重心；
④O是△ABC内一定点，且
OA
+
OB
+
OC
=
0
，则
S△AOC
S△ABC
=
1
3
；
⑤若(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)•
BC
=0，且
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
，则△ABC为等腰直角三角形．
其中正确的命题为
②③④
②③④
（将所有正确命题的序号都填上）．
已知O是△ABC所在平面内一点，且满足
BA
•
OA
+|
BC
|2=
AB
•
OB
+|
AC
|2，则点O（　　）

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