题目内容

已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若a
OA
+b
OB
+c
OC
=
0
，则O是△ABC的（　　）
分析：先将a
OA
+b
OB
+c
OC
=
0
转化成
AO
=
b
a+b+c
AB
+
c
a+b+c
AC
，记
AB
=c
n1
，
AC
=b
n2
，其中
n1
、
n2
分别表示
AB
、
AC
方向上的单位向量，从而可得结论．
解答：解：∵
OB
=
AB
-
AO
，
OC
=
AC
-
AO

∴a
OA
+b
OB
+c
OC
=a
OA
+b（
AB
-
AO
）+c（
AC
-
AO
）
=b
AB
+c
AC
-（a+b+c）
AO

而 a
OA
+b
OB
+c
OC
=
0
，
∴（a+b+c）
AO
=b
AB
+c
AC

即
AO
=
b
a+b+c
AB
+
c
a+b+c
AC

记
AB
=c
n1
，
AC
=b
n2
，其中
n1
、
n2
分别表示
AB
、
AC
方向上的单位向量
则
AO
=
bc
a+b+c
（
n1
+
n2
）
由该式可以看出AO位于∠BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点．
故选D．
点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及向量的基本运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2
OA
+
OB
+
OC
=
0
，那么（　　）
A、
AO
=
OD
B、
AO
=2
OD
C、
AO
=3
OD
D、2
AO
=
OD
已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且4
OA
+
OB
+
OC
=
0
，那么（　　）
已知O是△ABC所在平面内一点，且满足
BA
•
OA
+|
BC
|2=
AB
•
OB
+|
AC
|2，则点O（　　）
已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2
OA
+
OB
+
OC
=0，那么
AO
与
OD
的关系是
AO
=
OD
AO
=
OD
．

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