Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

写出曲线的极坐标的方程以及曲线的直角坐标方程；

若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于， 两点，弦的中点为，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)曲线的极坐标方程为： ；曲线的直角坐标方程为：

.(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（1）先消参数得的普通方程，再根据得曲线的极坐标的方程，利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（2）先求直线参数方程，再代入的普通方程，利用韦达定理以及参数几何意义求的值.

试题解析： 由题意的方程为： 可得的普通方程为： ，

将代入曲线方程可得： .

因为曲线的极坐标方程为，

所以.

又， ， .

所以.

所以曲线的极坐标方程为： ；曲线的直角坐标方程为：

.

因为点，化为直角坐标为所以.

因为直线过点且倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数），代入中可得： ，

所以由韦达定理： ， ，

所以.