Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；

（Ⅲ）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，，切点，      ……1分

，，                      ……3分

曲线在点处的切线方程为：，即． ……4分

（Ⅱ），定义域为，

         ……5分

①当，即时，令，

令，                              ……6分

②当，即时，恒成立，                     ……7分

综上：当时，在上单调递减，在上单调递增．

    当时，在上单调递增．                        ……8分

（Ⅲ）由题意可知，在上存在一点，使得成立，

即在上存在一点，使得，

即函数在上的最小值．…        …9分

由第（Ⅱ）问，①当，即时，在上单调递减，

，，

，；                                ……10分

②当，即时，在上单调递增，

，                        ……11分

③当，即时，

 ，，

此时不存在使成立．                                  ……13分

    综上可得所求的范围是：或．………………14分