题目内容
将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1
a2a3a4
a5a6a7a8a9
…
已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为{bn}，且b2=4，b5=10．表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，…构成数列{cn}，其前n项和为Sn．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13=1．①求Sn；②记M={n|（n+1）cn≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．
【答案】分析：（1）设{bn}的公差为d，则
，由此能求出数列{bn}的通项公式．
（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个数，且32＜13＜42，解得
，
，所以
，由错位相减法能够求得
．
②由
，知不等式（n+1）cn≥λ，可化为
，设
，解得
，由此能够推导出λ的取值范围．
解答：解：（1）设{bn}的公差为d，
则
，解得
，∴bn=2n．
（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，
由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个数，且32＜13＜42，
∴a10=b4=8，
∴a13=a10q3=8q2，
又a13=1，解得
，
∴
，
∴
，
，
∴
=4-
解得
．
②由①知，
，不等式（n+1）cn≥λ，可化为
，
设
，解得
，
∴n≥3时，f（n+1）＜f（n）．
∵集合M的元素个数是3，
∴λ的取值范围是（4，5]．
点评：本题考查数列的通项公式的求法、前n项和的计算和等比数列性质的应用，解题时要注意方程思想和错位相减求和法的合理运用，注意合理地进行等价转化．
，由此能求出数列{bn}的通项公式．（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个数，且32＜13＜42，解得
，
，所以
，由错位相减法能够求得
．②由
，知不等式（n+1）cn≥λ，可化为
，设
，解得
，由此能够推导出λ的取值范围．解答：解：（1）设{bn}的公差为d，
则
，解得
，∴bn=2n．（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，
由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个数，且32＜13＜42，
∴a10=b4=8，
∴a13=a10q3=8q2，
又a13=1，解得
，∴
，∴
，
，∴
=4-
解得
．②由①知，
，不等式（n+1）cn≥λ，可化为
，设
，解得
，∴n≥3时，f（n+1）＜f（n）．
∵集合M的元素个数是3，
∴λ的取值范围是（4，5]．
点评：本题考查数列的通项公式的求法、前n项和的计算和等比数列性质的应用，解题时要注意方程思想和错位相减求和法的合理运用，注意合理地进行等价转化．
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．
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