Question

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，点是的中点，且，.

（1）求四棱锥的体积；
（2）求证：∥平面；
（3）求直线和平面所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）证得侧棱底面，体积。
（2）证得∥且，
由四边形是平行四边形，得到∥，推出∥平面 。
（3）直线和平面所成的角的正弦值是。

试题分析：（1）∵⊥底面,底面,底面
∴⊥, ⊥
∵,、是平面内的两条相交直线
∴侧棱底面            2分
在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，
，，∴∥且，
所以，四棱锥的体积是。
（2）在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，
，
∴∥且，
∴∥且
∴四边形是平行四边形
∴∥
∵，
∴∥平面             8分
（3）∵侧棱底面，底面
∴
∵垂直于，、是平面内的两条相交直线
∴，垂足是点
∴是在平面内的射影，
∴是直线和平面所成的角
∵在中，，
∴
∴
∴ 直线和平面所成的角的正弦值是            12分
考点:平行关系，垂直关系，体积与角的计算。
点评：中档题，立体几何问题中，平行关系、垂直关系，角、距离、面积、体积等的计算，是常见题型，基本思路是将空间问题转化成为平面问题，利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作，二证，三计算”。利用“向量法”，通过建立空间直角坐标系，往往能简化解题过程。