Question

已知点A（cosα，sinα），点B（cos（α+

π

3

），sin（α+

π

3

）），点C（1，0）．
（Ⅰ）若|CA|=

3

，求α的值；
（Ⅱ）若α∈（

π

6

，

π

2

），求

CA

•

CB

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|CA|=

3

，可得 （cosα-1）²+sin²α=3，化简可得cosα=-

1

2

，由此求得 α 的值．
（Ⅱ）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简

CA

•

CB

的解析式为

1

2

+

3

sin（α-

π

3

），由α∈（

π

6

，

π

2

），可得 α-

π

3

∈[-

π

6

，

π

6

]，再根据正弦函数的定义域和值域求得

CA

•

CB

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）若|CA|=

3

，则有 （cosα-1）²+sin²α=3，化简可得cosα=-

1

2

，∴α=2kπ+

2π

3

，或α=2kπ+

4π

3

，k∈z．
（Ⅱ）∵

CA

•

CB

=（cosα-1，sinα）•（cos（α+

π

3

）-1，sin（α+

π

3

））=（cosα-1）[cos（α+

π

3

）-1]+sinα•sin（α+

π

3

）
=（cosα-1）（

1

2

cosα-

3

2

sinα-1）+sinα（

1

2

sinα+

3

2

cosα）=

1

2

cos²α-

3

2

sinαcosα-cosα-

1

2

cosα+

3

2

sinα+1+

1

2

sin²α+

3

2

sinαcosα
=

1

2

-

3

2

cosα+

3

2

sinα=

1

2

+

3

（

1

2

sinα-

3

2

cosα）=

1

2

+

3

sin（α-

π

3

），
而由α∈（

π

6

，

π

2

），可得 α-

π

3

∈[-

π

6

，

π

6

]，∴-

1

2

≤sin（α-

π

3

）≤

1

2

，∴-

3

2

≤

3

sin（α-

π

3

）≤

3

2

，
故 

1- 3

2

≤

CA

•

CB

≤

1+ 3

2

，即

CA

•

CB

的取值范围是[

1- 3

2

，

1+ 3

2

]．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．