Question

已知k＜-4，则函数y=cos2x+k（cosx-1）的最小值是

 

．

Answer 1

分析：利用二倍角公式把函数整理成关于cosx的一元二次方程，令cosx=t，则函数的对称轴和开口分向可知，进而根据t的范围和k的范围推断出函数在此区间上的单调性，进而可求得函数的最小值．

解答：解：y=cos2x+k（cosx-1）=2cos²x-1+kcosx-k=2cos²x+kcosx-（k+1）=0
令cosx=t，则-1≤t≤1，
y=2t²+kt-（k+1），对称轴为t=-

k

4

，开口向上，
∵-1≤t≤1，k＜-4，
∴函数在[-1，1]单调减，进而可知当t=1时，函数有最大值2+k-k-1=1
故答案为：1

点评：本题主要考查了三角函数的最值问题，二倍角公式的化简求值．解题的时候注意对二次函数对称轴位置的判断．