Question

 

Answer 1

解法1：（Ⅰ）如图，连，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有．

                                                                    ……2分

设，则，

在中，有．

在中，有．    ……4分

在中，有．

即，即．

∴．

故的取值范围为．                                       ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．                                                    ……8分

过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．
　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．
　　过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．
　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．                           ……10分

在等腰直角三角形中，可求得，又，进而．

                                                                ……12分

∴．

故二面角A－PD－Q的余弦值为．                              ……14分

解法2：（Ⅰ）以为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，则

B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），

P（0，0，4），                     ……2分

设Q（t，2，0）（），则 ＝（t，2，－4），

＝（t－a，2，0）．              ……4分
    ∵PQ⊥QD，∴＝0．

即．
∴．

故的取值范围为．         ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．

此时Q（2，2，0），D（4，0，0）．                                 ……8分

设是平面的法向量，

由，得．

取，则是平面的一个法向量．                  ……10分

而是平面的一个法向量，                        ……12分

由．

　　∴二面角A－PD－Q的余弦值为．                             ……14分