题目内容
设x1，x2是a2x2+bx+1=0的两实根；x3，x4是ax2+bx+1=0的两实根．若x3＜x1＜x2＜x4，则实数a的取值范围是________．
a＞1
分析：设f（x）=ax2+bx+1=0，方程f（x）=0为一二次函数其两实根为x1，x2（x1＜x2），又x3，x4是ax2+bx+1=0的两实根，若x3＜x1＜x2＜x4成立，即x1，x2在两其根之间，可由根的分布的相关知识将这一关系转化为不等式，解出a的范围．
解答：x1，x2是方程ax2+bx+1=0的根，∴a2x12+bx1+1=0
∴bx1=-a2x12-1，同理bx2=-a2x22-1
∴f（x1）=ax12+bx1+1=ax12-a2x12=（a-a2）x12
同理f（x2）=（a-a2）x22
要使x3＜x1＜x2＜x4，只需
即 
，∴a＞1
或
即 
，解集为φ
故a的取值范围a＞1
故答案为：a＞1．
点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，解答的关键是对二次函数图象的特征的把握，是一道关于二次函数的综合性很强的题目．
分析：设f（x）=ax2+bx+1=0，方程f（x）=0为一二次函数其两实根为x1，x2（x1＜x2），又x3，x4是ax2+bx+1=0的两实根，若x3＜x1＜x2＜x4成立，即x1，x2在两其根之间，可由根的分布的相关知识将这一关系转化为不等式，解出a的范围．
解答：x1，x2是方程ax2+bx+1=0的根，∴a2x12+bx1+1=0
∴bx1=-a2x12-1，同理bx2=-a2x22-1
∴f（x1）=ax12+bx1+1=ax12-a2x12=（a-a2）x12
同理f（x2）=（a-a2）x22
要使x3＜x1＜x2＜x4，只需
即 ，∴a＞1或
即 ，解集为φ故a的取值范围a＞1
故答案为：a＞1．
点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，解答的关键是对二次函数图象的特征的把握，是一道关于二次函数的综合性很强的题目．
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