Question

已知函数f(x)=

a

3

x2+

b

2

x2-a2x(a＞0)．
（1）证明：f（x）必有两个极值点；
（2）设x₁，x₂是f（x）两个极值点且|x₁|+|x₂|=2，求a的取值范围并求b的最大值；
（3）当a=3，b=4时，数列{a_n}满足：a₁=e-1（e为自然对数的底数）且an+1an=f(an+1)+9an+1，an＞0(n∈N*)，求证：(a1+1)(a2+1)•…•(an+1)＜e2．

Answer 1

分析：（1）因为函数f(x)=

a

3

x2+

b

2

x2-a2x(a＞0)．对其进行求导，只要证明f′（x）=0，有两个根即可；
（2）由（1）利用韦达定理得到两个根的关系，根据|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|，代入得到b与a的关系，可以令b²=g（a）利用导数研究g（a）的最值问题；
（3）a=3，b=4时，代入f（x），由已知可得a_n+1a_n=

a

3 n+1

+2

a

2 n+2

，且a_n+1≠0，可以推出∴{ln（a_n+1）}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，求出a_n的通项，从而求解；

解答：解：（1）因为函数f(x)=

a

3

x2+

b

2

x2-a2x(a＞0)．
∴f′（x）=ax²+bx-a²，
∵

△=b2+4a2 a＞0

，∴△＞0，即f′（x）=0必有两个根，
设为x₁，x₂，且x₁＜x₂，故有，
若f′（x）＞0，可得x＜x₁或x＞x₂，f（x）为增函数；
若f′（x）＜0，可得x₁＜x＜x₂，f（x）为减函数；
所以f（x）必有两个极值点；
（2）由（1）知

x1+x2=- b a x1•x2=-a＜0

，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x2x2

=

b2 a2 +4a

=2，
∴b²=4a²-4a³，∴

4a2-4a3≥0 a＞0

⇒0＜a≤1，
设b²=g（a）=4a²-4a³，a∈（0，1]，
g′（a）=8a-12a²=4a（2-3a），由g′（a）＞0，0＜a＜

2

3

，由g′（a）＜0，
可得

2

3

＜a≤1，
∴g（a）_max=g（

2

3

）=

16

27

，∴b²≤

16

27

即|b|≤

4 3

9

即b_min=

4 3

9

；
（3）由已知得：a_n+1a_n=

a

3 n+1

+2

a

2 n+2

，且a_n+1≠0，
∴a_n=

a

2 n+2

+2a_n+1⇒a_n+1=（a_n+1+1）²，
又a_n+1＞0，所以ln（a_n+1+1）=

1

2

ln（a_n+1），ln（a₁+1）=1，
∴{ln（a_n+1）}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，故ln（a_n+1）=（

1

2

）^n-1，
∴a_n+1=e(

1

2

)n-1，
（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）=e1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=e2-(

1

2

)n-1＜e²；

点评：利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数为0推出函数有极值；利用导数判断函数的单调区间，导函数大于0求出单调递增区间，导数小于0是递减区间，第三问难度比较大，需要用到前一题的结论进行证明，是一道综合性比较强的题；