Question

设x₁，x₂是函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a，b∈R，a＞0)的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）求a与b的关系式；
（2）令函数g(a)=

1

3

a3-

1

4

a2+a+1，求函数g（a）的值域．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因为x₁，x₂是函数的两个极值点，所以x₁，x₂是f′（x）=0的两个实数根，根据a大于0，利用韦达定理得到两根之积小于0即两根异号，且表示出|x₁|+|x₂|，根据其值等于2列出a与b的关系式即可；
（2）从（1）中a与b的关系式中找出a的取值范围即为g（a）的定义域，求出g′（a）=0时a的值，利用a的值在定义域范围中，讨论g′（a）的符号得到g（a）的单调区间，利用g（a）的增减性即可得到g（a）的最值，即可得到g（a）的值域．

解答：解：（1）f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，
∴x₁，x₂是方程f′（x）=ax²+bx-a²=0的两个实数根．
∵a＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=-

b

a

，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

b2 a2 +4a

∵|x₁|+|x₂|=2，
∴

b2 a2 +4a

=2即a与b的关系式为b²-4a²+4a³=0；
（2）由（1）知b²-4a²+4a³=0，即b²=4a²-4a³≥0，∴0＜a≤1
∴函数g（a）的定义域为（0，1]
g′（a）=a²-

5

2

a+1=（a-

1

2

）（a-2）
∴a=

1

2

是函数g（a）的极值点
∴a，g′（a），g（a）的变化如下：

∴g（1）≤g（a）≤g（

1

2

）即

13

12

≤g（a）≤

59

48

∴g（a）的值域为[

13

12

，

59

48

]

点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的单调性，会根据函数的增减性得到函数的极值，灵活运用韦达定理化简求值，会求函数的定义域和值域，是一道中档题．