Question

如图，某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，且|AD|≤|BC|，∠AMB=90°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．

Answer 1

分析：根据题意，证出界线上的任意一点P满足PA-PB=2（定值），从而得到界线为以A，B为焦点的双曲线的右支部分．在根据双曲线的基本量结合题中数据算出a=1且b=2

6

，算出双曲线方程，即得界线所在曲线的方程．

解答：解：设P为界线上的任意一点，则有PA+MA=PB+MB，即PA-PB=MB-MA=2（定值），
∴界线为以A，B为焦点的双曲线的右支
如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
设所求双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1=1（a＞0，b＞0）
∵2a=2，2c=AB=

82+62

=10，可得a=1，c=5，b=

c2-a2

=2

6

∴双曲线方程为x²-

y2

24

=1，
∵P为以曲线右支上一点，且|AD|≤|BC|，可得x＞0
即所求界线的方程为x²-

y2

24

=1，（x＞0）．

点评：本题给出实际应用问题，求界线所在曲线的方程．着重考查了双曲线的定义、标准方程和圆锥曲线的实际应用等知识，属于中档题．