题目内容

若函数f（x）=lnx-ax在点P（1，b）处的切线与x+3y-2=0垂直，则2a+b等于（　　）
分析：先求出导函数f'（x），求出 f′（1）的值从而得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为-1建立等式关系，解之即可求出a的值，再根据切点在函数图象上求出b的值，从而求出所求．
解答：解：f'（x）=
1
x
-a，f′（1）=1-a，
即函数f（x）=lnx-ax在点P（1，b）处的切线的斜率是1-a，
直线x+3y-2=0的斜率是-
1
3
，
所以（-
1
3
）×（1-a）=-1，解得a=-2．
点P（1，b）在函数f（x）=lnx+2x的图象上，则f（1）=2=b
∴2a+b=2×（-2）+2=-2
故选D．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线的一般式方程与直线的垂直关系和切点在切线上的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
若函数f（x）=ln（x2-2ax+3）的值域为R，则实数a的取值范围为
a≥
3
或a≤-
3
a≥
3
或a≤-
3
．
（2012•广州一模）若函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数，则实数a的值为
0
0
．
（2012•江西模拟）已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
（1）求实数m的值；
（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g(x)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1)+f(x1)，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
（3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．
若函数f（x）=ln（2x+a）与g（x）=bex+1的图象关于直线y=x对称，则a+2b=
 
．
若函数f（x）=ln（x+
a
x
-4）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A、（-∞，4]
B、[0，4]
C、（-∞，4）
D、（0，4）

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