题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面ABCD为直角梯形，
，
平面ABCD，E是棱PC上的一点.
（1）证明：平面
平面
.
（2）若
，F是PB的中点，
，
，求直线DF与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）利用面面垂直的判定定理来证明即可，先证
平面PAB，再说明
平面ADE，即可求证
（2）采用建系法，表示出相应坐标点，利用线面角的正弦公式进行求解即可
（1）证明：因为
平面ABCD，平面ABCD，所以
.
又
，
，所以平面
.
又平面ADE，所以平面
平面.
（2）解：由（1）知AD，AB，AP两两垂直，以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
所以
，
，
，
，
，
.
又
，
，
，
.
设
是平面ADE的一个法向量，则
，取
，则
，
，
得
.
设直线DF与平面ADE所成的角为
，由
，得
，
直线DF与平面ADE所成角的正弦值为.
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