Question

在△ABC中，BC=2，AC=

2

，AB=

3

+1．设

BP

=(1-λ)

BA

+λ

BC

(λ＞0)．
（1）求

AB

•

AC

；
（2）证明：A、P、C三点共线；
（3）当△ABP的面积为

3 +1

4

时，求λ的值．

Answer 1

（1）∵△ABC中，BC=2，AC=

2

，AB=

3

+1，
∴由余弦定理知：cosA=

2+( 3 +1)2-4

2× 2 × 3 +1

=

2

2

∴

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|cosA=

3

+1；
（2）证明：∵

BP

=(1-λ)

BA

+λ

BC

(λ＞0)
∴

BP

-

BA

=λ(

BC

-

BA

)，
∴

AP

=λ

AC

（λ＞0），
∵

AP

、

AC

有公共点A
∴A、P、C三点共线．
（3）∵S_△ABP=

1

2

AB•AP•sinA=

1

2

（

3

+1）•AP•

2

2

=

3 +1

4

，
∴AP=

2

2

，
∵AC=

2

，∴λ=

1

2

．