Question

已知函数f（x）=px³+qx²+2在x=2处取得极小值-2．
（1）设T（x）=f（x）+m，若T（x）有三个零点，求实数m的范围；
（2）是否存在实数k，当a+b≤2时，使得函数g(x)=

1

3

f′(x)+k在定义域[a，b]上值域为[a，b]（a≠b），若存在，求k的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：由于f（x）=px³+qx²+2在x=2处取得极小值-2．则f（2）=-2，f′（2）=0，由此能求出f（x）的解析式．
（1）由于T（x）有三个零点，则极大值大于0且极小值小于0，继而得到实数m的范围；
（2）分类讨论，然后利用导数来研究函数f（x）的单调性，得出其单调区间后，分别讨论它在各区间上的值域，对照题意可得符合条件的实数k的取值范围．

解答：解：由于f（x）=px³+qx²+2在x=2处取得极小值-2．则f（2）=-2，f′（2）=0，
则

12p+4q=0 8p+4q+2=-2

，解得

p=1 q=-3

，
故f（x）=x³-3x²+2，
（1）由于T（x）=f（x）+m，则T′（x）=f′（x）=3x（x-2）
令T′（x）＞0，解得x＜0或x＞2，令T′（x）＜0，解得0＜x＜2，
则得函数极大值为T（0）=2+m，极小值为T（2）=-2+m，
由于T（x）有三个零点，则

2+m＞0 2-m＜0

，得m∈（-2，2）；
（2）假设存在这样的实数k，
显然g（x）=x²-2x+k，对称轴x=1，
当a＜b≤1时，g（x）递减，

g(a)=a2-2a+k=b     ① g(b)=a2-2b+k=a     ②

由①-②得a+b=1，满足范围，且分别以b=1-a和a=1-b代入①、②得：

k=-a2+a+1 k=-b2+b+1

，即k=-x²+x+1在[1，+∞）上有两解，可得k∈[1，

5

4

)
当a≤1＜b时，显然g_min（x）=g（1）=k-1=a，
又

a+b

2

≤1，所以gmax(x)=g(a)=a2-2a+k=b
得b²=a²-2a+k=a²-a+1，又1＜b≤2-a，所以a∈[-1，0），
所以k∈[0，1]
当1≤a＜b时，显然不符合a+b=2，舍；
综上：k∈[0，

5

4

]

点评：本题考查利用导数求闭区间上的函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．