题目内容

已知二阶矩阵M=（
a1
0b
）有特征值λ1=2及对应的一个特征向量
e
1=
1
1
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（II）若
a
=
2
1
，求M10
a
．
（2）已知直线l：
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
（t为参数），曲线C1：
x=cosθ
y=sinθ
  （θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的
1
2
倍，纵坐标压缩为原来的
3
2
倍，得到曲线C2C，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
（3）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-m）．
（Ⅰ）当m=5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．
分析：（1）（Ⅰ）利用二级矩阵与平面列向量的乘法法则，可得结论；
（Ⅱ）确定矩阵M的特征多项式，确定矩阵M的另一个特征值，进而可得
a
=
e1
+
e2
，由此可求M10
a
；
（2）（Ⅰ）将l、曲线C1，化为普通方程，联立方程组，解得l与曲线C1的交点坐标，可求|AB|；
（II）确定点P的坐标是（
1
2
cosθ，
3
2
sinθ），求出点P到直线l的距离，即可求得最小值；
（3）（I）由题意|x+1|+|x-2|-5＞0，由此可得函数的定义域；
（Ⅱ）f（x）≥1等价于不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，则m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立，从而可求m的取值范围．
解答：（1）解：（Ⅰ）依题意：
a1
0b
1
1
=2
1
1
，∴
a+1=2
b=2
∴a=1，b=2．…（3分）
（Ⅱ）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），
∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1，…（4分）
设
e2
=
x
y
是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，则
11
02
x
y
=
x
y

∴
x+y=x
2y=y
，取x=1，得
e2
=
1
0
，…（5分）
∴
a
=
e1
+
e2
，∴M10
a
=λ110
e1
+λ210
e2
=210
1
1
+110
1
0
=
1025
1024
．…（7分）
（2）解：（I）l的普通方程为y=
3
（x-1），曲线C1的普通方程为x2+y2=1
联立方程组
y=
3
(x-1)
x2+y2=1
，解得l与曲线C1的交点为A（1，0），B（
1
2
，-
3
2
），则|AB|=1．…（3分）
（II）C2的参数方程为
x=
1
2
cosθ
y=
3
2
sinθ
（θ为参数），故点P的坐标是（
1
2
cosθ，
3
2
sinθ），
从而点P到直线l的距离是d=
|
3
2
cosθ-
3
2
sinθ-
3
|
2
=
3
4
[
2
sin(θ-
π
4
)+2]，
由此当sin(θ-
π
4
)=-1时，d取得最小值，且最小值为
6
4
(
2
-1)．…（7分）
（3）（I）由题意|x+1|+|x-2|-5＞0，令g（x）=|x+1|+|x-2|=
-2x+1，x≤-1
3，-1＜x＜2
2x-1，x≥2

解得x＞3或x＜-2，∴函数的定义域为{x|x＞3或x＜-2}…（3分）
（Ⅱ）f（x）≥1，∴log2（|x+1|+|x-2|-m）≥1=log22，即|x+1|+|x-2|-m≥2．
由题意，不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，则m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立．
而|x+1|+|x-2|-2≥3-2=1，故m≤1．…（7分）
点评：本题是选作题，考查知识全面，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
练习册系列答案
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（A）4-2矩阵与变换
已知二阶矩阵M的特征值是λ1=1，λ2=2，属于λ1的一个特征向量是e1=
1
1
，属于λ2的一个特征向量是e2=
-1
2
，点A对应的列向量是a=
1
4
．
（Ⅰ）设a=me1+ne2，求实数m，n的值．
（Ⅱ）求点A在M5作用下的点的坐标．

（B）4-2极坐标与参数方程
已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ-
π
3
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x=cosθ
y=3sinθ
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（1）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过点M（3，4），倾斜角为
π
6
的直线l与圆C：
x=2+5cosθ
y=1+5sinθ
（θ为参数）相交于A、B两点，试确定|MA|•|MB|的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
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（1）（矩阵与变换）已知二阶矩阵M=
0-1
23
．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）设向量
α
=
-1
3
，求M100
α
．
（2）（坐标系与参数方程）
已知曲线C1的参数方程为
x=1+2cosθ
y=-1+2sinθ
（θ是参数），曲线C2的极坐标方程为θ=
π
4
（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求弦长|AB|．
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分，作答时，先在答题卡上把所选题目对应的题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M=
a1
3d
有特征值λ=-1及对应的一个特征向量e1=
1
-3
．
（Ⅰ）求距阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x2+2y2=1，求曲线C的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x=2+t
y=t+1
(t为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为p2-4pcosθ+3=0．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立．
（Ⅰ）求实数t的取值范围；
（Ⅱ）记t的最大值为T，若正实数a、b、c满足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值．

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