题目内容
已知函数f(x)=2 | 3 |
(1)若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;
(2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数a.
分析:(1)设出切线的斜率k,得到k等于f′(x)并把a=1代入到f(x)中求出解析式,根据二次函数求最小值的方法,求出k的最小值,然后把x=1代入到f(x)中求出f(1)的值即可得到切点坐标,根据斜率和切点坐标写出切线方程即可;
(2)求出f′(x),要使f(x)为单调递增函数,必须满足f'(x)>0,即对任意的x∈(0,+∞),恒有f′(x)大于0,解出a小于一个关系式,利用基本不等式求出这个关系式的最小值,得到关于a的不等式,求出解集即可得到a的取值范围,在范围中找出满足条件的最大整数即可.
(2)求出f′(x),要使f(x)为单调递增函数,必须满足f'(x)>0,即对任意的x∈(0,+∞),恒有f′(x)大于0,解出a小于一个关系式,利用基本不等式求出这个关系式的最小值,得到关于a的不等式,求出解集即可得到a的取值范围,在范围中找出满足条件的最大整数即可.
解答:解:(1)设切线的斜率为k,则k=f′(x)=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,当x=1时,kmin=1.
把a=1代入到f(x)中得:f(x)=
x3-2x2+3x,所以f(1)=
-2+3=
,即切点坐标为(1,
)
∴所求切线的方程为y-
=x-1,即3x-3y+2=0.
(2)f′(x)=2x2-4ax+3,因为y=f(x)为单调递增函数,则对任意的x∈(0,+∞),恒有f′(x)>0,
f′(x)=2x2-4ax+3>0,
∴a<
=
+
,而
+
≥
,当且仅当x=
时,等号成立.
所以a<
,则所求满足条件的最大整数a值为1.
把a=1代入到f(x)中得:f(x)=
2 |
3 |
2 |
3 |
5 |
3 |
5 |
3 |
∴所求切线的方程为y-
5 |
3 |
(2)f′(x)=2x2-4ax+3,因为y=f(x)为单调递增函数,则对任意的x∈(0,+∞),恒有f′(x)>0,
f′(x)=2x2-4ax+3>0,
∴a<
2x2+3 |
4x |
x |
2 |
3 |
4x |
x |
2 |
3 |
4x |
| ||
2 |
| ||
2 |
所以a<
| ||
2 |
点评:此题是一道综合题,要求学生会根据导数求出切线的斜率,掌握不等式恒成立时所取的条件,利用会利用基本不等式求函数的最小值及会求二次函数的最小值.
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