题目内容
定义：两个连续函数（图象不间断）f（x）、g（x）在区间[a，b]上都有意义，则称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．已知函数f（x）=x3，g（x）=x3-3ax2+2．（Ⅰ）若函数y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求汉顺f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对值”
（Ⅲ）记f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为h(a)，a＞
| 3 | 2 |
分析：（Ⅰ）用导数的几何意义求解．
（Ⅱ）先建立m（x）=f（x）+g（x），再求导研究单调性，确定极值，再加上端点求得最大值．
（Ⅲ）按照（II）的思路求得“绝对和”，再由a＞
和[0，2]分类讨论．
（Ⅱ）先建立m（x）=f（x）+g（x），再求导研究单调性，确定极值，再加上端点求得最大值．
（Ⅲ）按照（II）的思路求得“绝对和”，再由a＞
| 3 |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）∵g′（x）=3x2-6ax，g（x）地点（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，
∴g′（1）=3-6a=1，a=
（Ⅱ）m（x）=2x3-x2+2，m′（x）=6x2-2x=6x（x-
）由m′（x）=6x2-2x=6x（x-
）＞0，得x＜0或x＞
由m′（x）=6x2-2x=6x（x-
）＜0，得0＜x＜
又∵x∈[0，2]
|m（2）|＞|m（0）|＞|m（
）|
∴f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为12
（Ⅲ）记m（x）=f（x）+g（x），则m（x）=2x3-3ax2+2
m′（x）=6x（x-a）
∵a＞
＞0
∴由m（x）=6x（x-a）＞0得x＞a或x＜0
由m（x）=6x（x-a）＜0得0＜x＜a
又∵x∈[0，2]，且a＞
（1）当
＜a＜2时，m（x）在[0，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增．
又∵m（0）=2，m（a）=2-a2＜0，则|m（2）|＜|m（a）|
此时有|m（0）|-|m（a）|=4-a2≥0，解得a≤
∴（i）当
＜a＜
，|m（0）|＞|m（a）|
故“绝对和”为h（a）=m（0）=2
（ii）当
＜a＜2，|m（0）|＜|m（a）|
故“绝对值和”为h（a）=m（a）=a2-2
（2）a≥2，m（x）在x∈[0，2]上单调递减，
|m（2）|＞|m（0）|，
故“绝对和”为h（a）=m（2）=12a-18≥6＞2
由（1）（2）得a的取值范围是
＜a＜
∴g′（1）=3-6a=1，a=
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）m（x）=2x3-x2+2，m′（x）=6x2-2x=6x（x-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
由m′（x）=6x2-2x=6x（x-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
又∵x∈[0，2]
|m（2）|＞|m（0）|＞|m（
| 1 |
| 3 |
∴f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为12
（Ⅲ）记m（x）=f（x）+g（x），则m（x）=2x3-3ax2+2
m′（x）=6x（x-a）
∵a＞
| 3 |
| 2 |
∴由m（x）=6x（x-a）＞0得x＞a或x＜0
由m（x）=6x（x-a）＜0得0＜x＜a
又∵x∈[0，2]，且a＞
| 3 |
| 2 |
（1）当
| 3 |
| 2 |
又∵m（0）=2，m（a）=2-a2＜0，则|m（2）|＜|m（a）|
此时有|m（0）|-|m（a）|=4-a2≥0，解得a≤
| 3 | 4 |
∴（i）当
| 3 |
| 2 |
| 3 | 4 |
故“绝对和”为h（a）=m（0）=2
（ii）当
| 3 | 4 |
故“绝对值和”为h（a）=m（a）=a2-2
（2）a≥2，m（x）在x∈[0，2]上单调递减，
|m（2）|＞|m（0）|，
故“绝对和”为h（a）=m（2）=12a-18≥6＞2
由（1）（2）得a的取值范围是
| 3 |
| 2 |
| 3 | 4 |
点评：本题主要考查导数的几何意义，用导数法求函数的最大值以及用新定义来研究最大值的应用．
练习册系列答案
轻松暑假总复习系列答案
相关题目
，且h（a）=2，试求a的取值范围．