Question

O为坐标原点, 和两点分别在射线 上移动,且,动点P满足,
记点P的轨迹为C.
(I)求的值;
(II)求P点的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线?
(III)设点G(－1,0),若直线与曲线C交于M、N两点,且M、N两点都在以G为圆心的圆上,求的取值范围.

Answer 1

(I)   
(II)轨迹C的方程为,它表示焦点在轴上的双曲线.
(III)

(I) ∵,分别在射线上,

即,

又∵     .
,     .
(II) 设由可得
即

两式相减有: .
∵、不同时为0,   
轨迹C的方程为,它表示焦点在轴上的双曲线.
(III)
消去,整理得: .
∵直线与曲线C交于M、N两点,
设

即
由(1)整理得:
由(3)有:
由(2)有.
又∵M、N在以点G为圆心的圆上,
设MN的中点为Q,则
∵,



∵       

又∵
.
整理得
把(6)代入(4)中有:
由
又由(6)有

∵
于是
解得
再由.
综合得的取值范围为