Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，已知|PT|的最小值不小于．
（I）求椭圆的离心率e的取值范围；
（II）设O为原点，椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由|PT|=，知当且仅当|PF₁|取最小值时，|PT|取最小值．由|PF₁|_min=a-c，能得到离心率e的取值范围．
（II）由Q（1，0），直线l的方程为y=k（x-1），联立方程组，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有，，，再由OA⊥OB知k=a，直线方程为ax-y-a=0，再由圆心到F₂（c，0）到直线l的距离d=，能求出S的最大值．
解答：解：（I）由题意|PT|=，
当且仅当|PF₁|取最小值时，|PT|取最小值，
∵|PF₁|_min=a-c，
∴，
即，解得．
∴离心率e的取值范围是[）．
（II）∵Q（1，0），直线l的方程为y=k（x-1），
联立方程组，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有，，
∴y₁y₂=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=，
∴，
∵OA⊥OB，∴，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即k²=a²，
∴k=a，直线方程为ax-y-a=0，
∴圆心到F₂（c，0）到直线l的距离d=，
由，知S==，
∵，∴，
∴，
∴S，
故S的最大值为．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．