Question

【题目】已知函数，函数的导函数，且，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，对于，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）求导，对进行分类讨论，研究单调性，求极值.

（Ⅱ）先求得，分离变量，即，构造新函数，求其最大值，即可求出的取值范围.

（Ⅲ）令，即,求导研究单调性，求最小值大于0即可证得原不等式成立.

（Ⅰ）函数的定义域为，.

当时，，∴在上为增函数，没有极值；

当时，令

∴在单调递增，在单调递减

∴有极大值，无极小值.

（Ⅱ），∴

∵，∴

∴

∵，使得不等式成立

即

令，

当时，，

∴，即.

∴在单调递减，∴

∴.

（Ⅲ）当时，，令，

即

∴，则在上为增函数

∵，

∴.∵在上为增函数

∴时，，时，.

在单调递减，在单调递增

∴

∵∴

∵∴单调递减，

∴

∴即.