Question

已知椭圆的右焦点F₂与抛物线C₂：y²=4x的焦点重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，．圆C₃的圆心T是抛物线C₂上的动点，圆C₃与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）证明：无论点T运动到何处，圆C₃恒经过椭圆C₁上一定点．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线的方程，求出焦点坐标，然后求出椭圆的坐标，通过定义建立方程，化简即可得到椭圆C₁的方程．
（2）设出点T的坐标，将抛物线方程代入圆的方程，得到一元二次方程，证明此方程恒成立即可．
解答：解：（1）：∵抛物线C₂：y²=4x的焦点坐标为（1，0），
∴点F₂的坐标为（1，0）．
∴椭圆C₁的左焦点F₁的坐标为F₁（-1，0），
抛物线C₂的准线方程为x=-1．
设点P的坐标为（x₁，y₁），
由抛物线的定义可知|PF₂|=x₁+1，
∵，
∴，解得．
由，且y₁＞0，得．
∴点P的坐标为．
在椭圆C₁：中，c=1.．
∴．
∴椭圆C₁的方程为．
（2）证明：设点T的坐标为（x，y），圆C₃的半径为r，
∵圆C₃与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，
∴．
∴．
∴圆C₃的方程为（x-x）²+（y-y）²=4+x²．（*）
∵点T是抛物线C₂：y²=4x上的动点，
∴y²=4x（x≥0）．
∴．
把代入（*）
消去x整理得：．（**）
方程（**）对任意实数y恒成立，
∴
解得
∵点（2，0）在椭圆C₁：上，
∴无论点T运动到何处，圆C₃恒经过椭圆C₁上一定点（2，0）．
点评：本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识．