Question

已知椭圆的右焦点F₂与抛物线的焦点重合，左端点为
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆C₁的右焦点且斜率为的直线l₂被椭圆C₁截得的弦AB，试求它的长度．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线焦点可求得c值，由椭圆左端点可得a值，根据b²=a²-c²可得b值；
（2）由点斜式易求直线l₂的方程，把l₂的方程代入椭圆方程消掉y可得关于x的二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理及弦长公式即可求得弦AB的长；
解答：解：（1）因为抛物线的焦点为（2，0），所以c=2，
又椭圆的左端点为（-，0），所以a=，
则b²=a²-c²=，
故所求椭圆方程为：；
（2）因为椭圆的右焦点F（2，0），所以l₂的方程为：y=（x-2），
代入椭圆C的方程，化简得，5x²-18x+15=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理知，，x₁x₂=3，
从而|x₁-x₂|===，
由弦长公式，得|AB|===，
弦AB的长度为．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查方程思想，弦长公式、韦达定理是解决该类题目的基础知识，要牢固掌握．