Question

抛物线y²=2px的焦点与双曲线

x2

3

-y2=1的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积．

Answer 1

（Ⅰ）由双曲线

x2

3

-y2=1得，a²=3，b²=1，
所以c²=a²+b²=3+1=4，所以c=2．
则

p

2

=2，p=4．
所以抛物线的方程为y²=8x；
（Ⅱ）由题意知，a=

3

，b=1，
所以双曲线的渐进线方程为y=±

3

3

x，
抛物线的准线方程为x=-2．
代入双曲线的准线方程得y=±

2 3

3

．
设抛物线的准线与双曲线的准线的交点为A，B．
则|AB|=

4 3

3

．
所以抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为：
S=

1

2

×

4 3

3

×2=

4 3

3

．