Question

（2012•江西）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC．
（1）求cosA；
（2）若a=3，△ABC的面积为2

2

，求b，c．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos（B+C）的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；
（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得出bc=6，记作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，记作②，联立①②即可求出b与c的值．

解答：解：（1）3cos（B-C）-1=6cosBcosC，
化简得：3（cosBcosC+sinBsinC）-1=6cosBcosC，
变形得：3（cosBcosC-sinBsinC）=-1，
即cos（B+C）=-

1

3

，
则cosA=-cos（B+C）=

1

3

；
（2）∵A为三角形的内角，cosA=

1

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
又S_△ABC=2

2

，即

1

2

bcsinA=2

2

，解得：bc=6①，
又a=3，cosA=

1

3

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²=13②，
联立①②解得：

b=2 c=3

或

b=3 c=2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．