Question

已知函数g（x）=-x²-3，f（x）为二次函数．当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）是奇函数，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：待定系数法设出f（x）的解析式，利用奇函数的定义F（x）=-F（-x）建立方程组解得a，c；
由于f（x）的对称轴含字母，所以通过分类研究f（x）在闭区间上的最值问题从而求得b．

解答：解：设f（x）=ax²+bx+c，所以令F（x）=f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3
因为F（x）为奇函数，所以F（x）=-F（-x），即（a-1）x²+bx+（c-3）=-（a-1）x²+bx-（c-3）
所以：

a-1=-(a-1) c-3=-(c-3)

所以：a=1且c=3，此时f（x）=x²+bx+3．
①当-

b

2

＜-1      即b＞2时，函数f（x）在[-1，2]上为增函数，故f（-1）=1得b=3
②当-

b

2

＞2       即b＜-4时，函数f（x）在[-1，2]上为减函数，故f（2）=1得b=-3但与b＜-4矛盾，舍去
③当-1≤-

b

2

≤ 2   即-4≤b≤2时，函数f（x）在[-1，-

b

2

]上为减函数，在[-

b

2

.2]上为增函数，所以f(-

b

2

)=1，解得：b=-2

2

或b=2

2

（舍）
综上所述，b=3或b=-2

2

，所以f（x）=x²+3x+3或f（x）=x²-2

2

x+3．

点评：本题考查待定系数法设出f（x）的解析式，用到了奇函数的定义F（x）=-F（-x），
分类研究f（x）在闭区间上的最值（由于f（x）的对称轴含字母）