Question

7．设函数f（x）=x²+2xtanθ-1，其中θ∈（$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）
（1）当θ=-$\frac{π}{4}$，x∈[-1，$\sqrt{3}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值
（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间[-$\sqrt{3}$，1]上是单调函数．

Answer 1

分析 （1）由θ=-$\frac{π}{4}$，得tanθ=-1，代入f（x）=x²+2xtanθ-1，然后利用配方法求得函数f（x）的最大值和最小值；
（2）把已知函数解析式配方，求出函数的对称轴，利用在区间[-$\sqrt{3}$，1]上是单调函数得到tanθ的范围，进一步求得θ的范围．

解答 解：（1）当θ=-$\frac{π}{4}$时，tanθ=-1，
$f（x）={x^2}-2x-1={（x-1）^2}-2，x∈[{-1，\sqrt{3}}]$，
当x=1时，f（x）的最小值是-2；x=-1时，f（x）取得最大值为2．…（6分）
（2）函数f（x）=（x+tanθ）²-1-tan²θ的对称轴是x=-tanθ，…（8分）
使y=f（x）在区间[-$\sqrt{3}$，1]上是单调函数．
可得-tan$θ≤-\sqrt{3}$或-tanθ≥1，…（10分）
即tanθ$≥\sqrt{3}$或tanθ≤-1，
又θ∈（$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴θ的取值范围是：（$-\frac{π}{2}，-\frac{π}{4}$）∪（$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$）．…（12分）

点评 本题考查三角函数的最值，训练了配方法在求最值中的应用，考查二次函数的单调性，是中档题．