Question

已知向量

a

=(sin

x

2

，

1

2

)，

b

=(

3

2

，cos

x

2

)，x∈R，f(x)=

a

•

b

．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及最小值；
（2）当x∈[0，2π]时，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）先根据向量数量积的运算求出函数f（x）的解析式，再化简为y=Acos（wx+ρ）的形式，根据T=

2π

w

可求最小正周期．
（2）将

x

2

+

π

6

看做一个整体，再由2kπ≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈z)可求出x的范围．

解答：解：（1）∵

a

=(sin

x

2

，

1

2

)，

b

=(

3

2

，cos

x

2

)
∴f(x)=

a

•

b

=(sin

x

2

，

1

2

)•(

3

2

，cos

x

2

)=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

=cos(

x

2

+

π

6

)
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

1 2

=4π，最小值为-1
（2）由（1）知f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)
令2kπ≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈z)
得4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

(k∈z)
即函数f（x）的单调递增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

](k∈z)
∴当x∈[0，2π]时，函数f（x）的单调递增区间为[0，

2π

3

]

点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法．一般都是把函数先化简为y=Asin（wx+ρ）或y=Acos（wx+ρ）的形式再由三角函数的图象和性质可解题．