Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．
（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；
（2）若点N是定直线l：x=-m上的任意一点，分别记直线AN，MN，BN的斜率为k₁、k₂、k₃，
试求k₁、k₂、k₃之间的关系，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB的方程为：x=ty+m与y²=2px联立得y²=2px，x=ty+m，消去x得y²-2pty-2pm=0，再由韦达定理得y₁•y₂为定值；
（2）三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，证明如下：设点N（-m，n），则直线AN的斜率为kAN=

y1-n

x1+m

；直线BN的斜率为kBN=

y2-n

x2+m

，由此能够推导出k_AN+k_BN=2k_MN，即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．

解答：解：（1）证明：．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）有y₁•y₂=-2pm，下证之：
设直线AB的方程为：x=ty+m与y²=2px联立得y²=2px
x=ty+m，消去x得y²-2pty-2pm=0（4分）
由韦达定理得y₁•y₂=-2pm，（6分）
（2）解：三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，（9分）
下证之：
设点N（-m，n），则直线AN的斜率为kAN=

y1-n

x1+m

；
直线BN的斜率为kBN=

y2-n

x2+m

∴kAN+kBN=

y1-n

y12 2p +m

+

y2-n

y22 2p +m

=

2p(y1-n)

y12+2pm

+

2p(y2-n)

y22+2pm

=2p(

y1-n

y12-y1y2

+

y2-n

y22-y1y2

)=2p•

y2(y1-n)-y1(y2-n)

y1y2(y1-y2)

=2p•

n(y1-y2)

y 1y2(y1-y2)

=2p•

n

y1y2

=2p•

n

-2pm

=-

n

m

（13分）
又∵直线MN的斜率为kMN=

n-0

-m-m

=-

n

2m

（14分）
∴k_AN+k_BN=2k_MN，即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列． （15分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要注意公式的合理运用．