Question

【题目】二次函数图像与轴交于，两点，交直线于，两点，经过三点，，作圆．

（1）求证：当变化时，圆的圆心在一条定直线上；

（2）求证：圆经过除原点外的一个定点．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）联立，求得点，联立与求得点，设圆C的方程为，根据点到圆心距离相等求得圆心坐标x0与y0的联系，消参即可求得定直线

（2）由（1）知，设圆C过定点（m，n），则m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理成关于b的一次函数形式，根据恒成立问题联立方程求解即可

解：（1）在方程中．令，易得

设圆C的方程为

则，

故经过三点O，A，B的圆C的方程为x2+y2+bx+（b﹣2）y=0，

设圆C的圆心坐标为（x0，y0），

则，∴y0=x0+1，

这说明当b变化时，（1）中的圆C的圆心在定直线y=x+1上

（2）设圆C过定点（m，n），则m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理得（m+n）b+m2+n2﹣2n=0，

它对任意b≠0恒成立，∴

故当b变化时，（1）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）．