Question

如图：在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A(4，0)，C(1，

3

)，点M是OA的中点，点P在线段BC上运动（包括端点）
（1）求u=

OP

•

CM

的最大值．
（2）是否存在实数λ，使(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出P的坐标，求出线段OP，CM对应的向量的坐标，利用向量的数量积公式，即可求得u=

OP

•

CM

的最大值；
（2）表示出向量坐标，利用数量积为0，结合t的范围，可得结论．

解答：解：（1）设P（t，

3

），其中1≤t≤5．
于是

OP

=（t，

3

），而

CM

=（1，-

3

），
所以u=

OP

•

CM

=（t，

3

）•（1，-

3

）=t-3．
故u=

OP

•

CM

的取值范围是[-2，2]，所以u=

OP

•

CM

的最大值为2；
（2）λ

OA

-

OP

=（4λ-t，-

3

），

CM

=（1，-

3

），
∵(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

，∴4λ-t+3=0，
∵1≤t≤5，∴-

1

2

≤λ≤

1

2

．
即-

1

2

≤λ≤

1

2

时，(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查学生的运算能力，正确运用数量积公式是关键．