Question

（18）

已知函数f(x)＝Asin且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2008).

Answer 1

    (Ⅰ)y=Asin²(ωx+φ)=cos(2ωx+2φ).

    ∵y=f(x)的最大值为2，A＞0，

    ∴=2，=2．

    又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，

    ∴＝2，ω＝.

    ∴f(x)=cos(+2φ)=1-cos(+2φ).

    ∵y＝f(x)过(1，2)点，

    ∴cos(+2φ)=-1．

    ∴+2φ＝2kπ+π，k∈Z，

    ∴2φ＝2kπ+，k∈Z，

    ∴φ=kπ+，k∈Z．

    又∵0＜φ＜，

    ∴φ=.

    (Ⅱ)解法一：∵φ=，

    ∴y=1-cos(x+)=1+sinx．

    ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4．

    又∵y=f(x)的周期为4，2008=4×502．

    ∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=4×502＝2008．

    解法二：∵f(x)=2sin²(x+φ)

    ∴f(1)+f(3)＝2sin²(+φ)+2sin²(π+φ)=2，

    f(2)+f(4)=2sin²(+φ)+2sin²(π+φ)=2，

    ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4．

    又y＝f(x)的周期为4，2008＝4×502．

    ∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=4×502＝2008．