题目内容

数列{a_n}满足：a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N，n≥2），其中a₄=365，
（1）求a₁，a₂，a₃；（2）若 $数学公式$ 为等差数列，求常数λ的值；（3）求{a_n}的前n项和S_n．

解：（1）a₁=5，a₂=23，a₃=95
（2）由 $\text{[math]}$ 为等差数列可得：
$\text{[math]}$ 为常数，
即 $\text{[math]}$ 为常数，
所以2λ+1=0，
故 $\text{[math]}$
（3）由2）可得 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
3S_n′= $\text{[math]}$ ×3ⁿ⁺¹
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
分析：（1）令数列的递推关系中的n依次取4，3，2，通过解方程求出a₁，a₂，a₃；
（2）求出数列 $\text{[math]}$ 的第n项减去第n-1项求出差，由于差为常数，令2λ+1=0，求出常数λ的值．
（3）利用等差数列的通项公式先求出 $\text{[math]}$ 的通项，通过解方程求出a_n，利用错位相减法求出前n项和．
点评：求数列的前n项和时，应该先求出通项，判断出通项的特点，再选择合适的求和方法．

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设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c为实数，且c≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a=

，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

数列{a_n}满足a₁=a，an+1=

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a_n+1=a_n，求a的值；
（Ⅱ）当a=

时，证明：an＜

；
（Ⅲ）设数列{a_n-1}的前n项之积为T_n．若对任意正整数n，总有（a_n+1）T_n≤6成立，求a的取值范围．

（2011•天津模拟）设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c为实数，且c≠0．
（1）求证：a≠1时数列{a_n-1}是等比数列，并求a_n；
（2）设a=

，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设a=

(n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，设数列{d_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有Tn＜

（2009•大连二模）已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时，an=

an-1-4 (an-1＞4)

5-an-1 (an-1≤4)

（I）当a=200时，填写下列表格；

N	2	3	51	200
a_n

（II）当a=200时，求数列{a_n}的前200项的和S₂₀₀；
（III）令b n=

，T_n=b₁+b₂…+b_n求证：当1＜a＜

已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=

（x＞0），数列{a_n}满足a₁=a，

)（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{b_n}同时满足：①b₁=a₁，b₂=a₅；②数列{b_n}的每一项都是数列{a_n}中的某一项．试判断数列{b_n}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b₂=a_m（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{b_n}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{b_n}是无穷数列，并说明理由．