Question

若

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AD

•

AB

=0，且△ABC、△ACD△ABD的面积的和为2，则经过A、B、C、D四个不同点的球的体积的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB，AC，AD两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出体积的最小值．

解答：解：设AB=a，AC=b，AD=c，
因为AB，AC，AD两两互相垂直，
扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a²+b²+c²=4R²
S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB
=

1

2

（ab+ac+bc ）
≤

1

2

（a²+b²+c²）=2R²
即R≥1，R最小值为：1
球的体积的最小值是

4

3

π
故答案为

4

3

π．

点评：本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键．