Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，且，证明：.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2），为函数零点，可得，要证，只需证，，令，在上是增函数，∴，∴，从而可得结论.

详解：（1）函数的定义域为.

.

当时，，在上是减函数，所以在上无极值；

当时，若，，在上是减函数.

当，，在上是增函数，

故当时，在上的极小值为.

（2）证明：当时，，可证明

由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，

又，为函数零点，所以，要证，只需证.

∵ ，又

∵，

∴，

令，

则，

∴在上是增函数，∴，∴，

∴，即得证.