Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），若以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，设是圆上任一点，连结并延长到，使.

(1)求点轨迹的直角坐标方程；

(2)若直线与点轨迹相交于两点，点的直角坐标为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，设动点，由得出，把M点坐标代入圆C方程即得Q点轨迹方程；

（2）由于直线的参数方程是过P点的标准参数方程，因此参数具有几何意义，直接把参数方程代入Q点轨迹方程，由韦达定理可得，而，变形即得．

详解：（1）圆的直角坐标方程为，设，则，

∴

∴这就是所求的直角坐标方程.

（2）把代入，即代入

得，即

令对应参数分别为，则，

所以.