题目内容
某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减
少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中
逐渐溶化,水中的碱浓度
与时间
(小时)的关系可近似地表示为：
,只有当污染河道水中碱的浓度不低于
时,才能对污
染产生有效的抑制作用.
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？
（2）第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到时,马上再投放1个单
位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为
,求的函数式及水中碱浓度的最大值.
（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加）
（1）3 （2）第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；
第一次投放
小时后, 水中碱浓度的达到最大值为
.
解析试题分析：．⑴由题意知
或
解得
或
，即
能够维持有效的抑制作用的时间：
小时.
⑵由⑴知，
时第二次投入1单位固体碱，显然的定义域为
当
时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故
=
+
=
;
当
时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故
当
时，
=
;
当
时，
;
所以
当 时，
=
=;
当且仅当
时取“=”,即
当时，第一次投放1单位固体碱已无残留，
当时，
，所以为增函数;
当时，为减函数;故
=
，
又
,所以当
时，水中碱浓度的
最大值为.
答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放
小时后, 水中碱浓度的达到最大值为.
考点：函数模型的选择与应用．
点评：本题考查分段函数，考查解不等式，考查函数的单调性，考查利用基本不等式求函数
的最值，确定函数的解析式是关键．
(x≠0)．
(其中c为小于6的正常数)． (注：次品率＝次品数/生产量，如P＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)，已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产出1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响。
据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：
| 所用的时间（天数） | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 通过公路1的频数 | 20 | 40 | 20 | 20 |
| 通过公路2的频数 | 10 | 40 | 40 | 10 |
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；
（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其它费用忽略不计），此项费用由生产商承担。如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给生产商2万元。如果汽车A、B长期按（1）所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大。
（注：毛利润=（销售商支付给生产商的费用）—（一次性费用））
的定义域；
,对任意
，总存在唯一
，使得
成立.求实数
的取值范围.
，求函数
的最大值和最小值；
在
上f (x)
恒成立，求a的取值范围.