Question

已知

m

=(asinx，cosx)，

n

=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f（x）=

m

•

n

满足f（

π

6

）=2，且f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，

π

2

]上总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中

m

=(asinx，cosx)，

n

=(sinx，bsinx)，f（x）=

m

•

n

，我们根据平面向量数量积公式，可以得到函数的解析式，（含参数a，b），进而根据f（

π

6

）=2，且f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称．我们可以构造关于a，b的方程，解方程即可求出a，b的值．
（II）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，

π

2

]上总有实数解，我们可以求出函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域，构造一个对数不等式，解不等式即可求出实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=asin2x+bsinxcosx=

a

2

(1-cos2x)+

b

2

sin2x
由f(

π

6

)=2得，a+

3

b=8①
∵f（x）的图象关于x=

π

3

对称，∴f(0)=f(

2

3

π)∴b=

3

a②
由①、②得，a=2，b=2

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1-cos2x+

3

sin2x=2sin(2x-

π

6

)+1
∵x∈[0，

π

2

]，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log₂k=0有解，即f（x）=-log₂k有解，
∴-3≤log₂k≤0，解得

1

8

≤k≤1，即k∈[

1

8

，1]．

点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）解析式的求法，正弦型函数的值域，及对数的性质，其中根据已知求出函数f（x）的解析式是解答本题的关键．