Question

已知

m

=（asinx，cosx），

n

=（sinx，bsinx），其中，a，b，c∈R，函数f（x）=

m

•

n

，且f（

π

6

）=f（

3π

2

）=2
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若关于x的方程f（x）+log₂k=0总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积公式，根据f（

π

6

）=f（

3π

2

）=2，建立方程，即可求函数f（x）的解析式；
（II）将三角函数化简，确定三角函数的范围，即可求得实数k的取值范围．

解答：解：（I）∵

m

=（asinx，cosx），

n

=（sinx，bsinx），
∴函数f（x）=

m

•

n

=asin²x+bsinxcosx
∵f（

π

6

）=f（

3π

2

）=2
∴asin²

π

6

+bsin

π

6

cos

π

6

=asin²

3π

2

+bsin

3π

2

cos

3π

2

=2
∴a=2，b=2

3

∴f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx；
（II）f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx=2sin（2x-

π

6

）+1
关于x的方程f（x）+log₂k=0总有实数解，即-2sin（2x-

π

6

）=log₂k+1总有实数解，
∴|log₂k+1|≤2
∴

1

8

≤k≤2．

点评：本题考查向量的数量积公式，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，确定函数解析式是关键，属于中档题．