题目内容

已知函数 $数学公式$ 是自然数）是奇函数，f（x）有最大值 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，试求函数f（x）的解析式．

解：由f（x）为奇函数得f（-x）+f（x）=0，即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0，
∴c=0．
又a＞0，b是自然数，
∴当x＜0时，f（x）＜0，
当x＞0时，f（x）＞0，
故f（x）的最大值 $\text{[math]}$ 必在x＞0时取得；
当x＞0时，f（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
当且仅当ax= $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时取得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即a=b²，
又f（1）＞ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
∴2b²-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，
∴ $\text{[math]}$ ＜b＜2 又a＞0，b是自然数可得a=b=1，
∴f（x）= $\text{[math]}$ ．
分析：由f（x）为奇函数可知f（-x）+f（x）=0，求得c=0；依题意可知f（x）的最大值 $\text{[math]}$ 必在x＞0时取得，利用基本不等式可求得f（x）≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，于是a=b²，最后由f（1）＞ $\text{[math]}$ ，即可求得 $\text{[math]}$ ＜b＜2 又a＞0，b是自然数可得a=b=1．
点评：本题考查函数奇偶性的性质，考查基本不等式的应用，由基本不等式结合题意得到a=b²是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．