Question

（1991•云南）已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

．
（Ⅰ）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞

n

n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设x₁，x₂为任意两个实数，且x₁＜x₂，而f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，利用作差证明f（x₂）＞f（x₁）即可；
（Ⅱ）要证f（n）＞

n

n+1

（n∈N，n≥3），即要证1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，即要证2ⁿ-1＞2n（n≥3）．用数学归纳法即可证明；

解答：（Ⅰ）证明：设x₁，x₂为任意两个实数，且x₁＜x₂，
f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
f（x₂）-f（x₁）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由指数函数性质知，(2x1+1)(2x2+1)＞0，2x2-2x1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）要证f（n）＞

n

n+1

（n∈N，n≥3），即要证1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，
即要证2ⁿ-1＞2n（n≥3）．①
现用数学归纳法证明①式．
（1）当n=3时，左边=2³-1=7，右边=2×3=6，
∴左边＞右边，因而当n=3时①式成立．
（2）假设当n=k（k≥3）时①式成立，即有2^k-1＞2k，那么
2^k+1-1=2•2^k-1=2（2^k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+（2k-1），
∵k≥3，∴2k-1＞0．
∴2^k+1-1＞2（k+1）．
这就是说，当n=k+1时①式成立．
根据（1）（2）可知，①式对于任意不小于3的自然数n都成立．
由此有f（n）＞

n

n+1

．（n≥3，n∈N）．

点评：本小题考查指数函数，数学归纳法，不等式证明等知识以及综合运用有关知识解决问题的能力．