Question

如图，设抛物线方程为x²=2py（p＞0），M为直线l：y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B．
（1）设抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点，当时，求抛物线方程；
（2）若M（2，-2），求线段AB的长；
（3）求M到直线AB的距离的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，得y_P+2p-（y_P+）=，由此可求抛物线方程；
（2）求出抛物线方程与过M点的直线为y=k（x-2）-2联立，利用直线与抛物线相切，可求得x_B-x_A=，x_B+x_A=4．根据A、B在抛物线上，可求y_B-y_A，从而可求线段AB的长；
（3）设M（m，-2p），过M点的直线与抛物线联立，利用直线与抛物线相切，可得x₁-x₂=p（k₁-k₂），y₁-y₂==，从而可得直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求得点M到AB的距离，利用基本不等式，即可求M到直线AB的距离的最小值．
解答：解：（1）由，得y_P+2p-（y_P+）=，∴p=1，
∴抛物线方程为x²=2y．
（2）M（2，-2）在直线y=-2p上，∴-2=-2p，解得p=1，
∴抛物线方程为x²=2y，
设过M点的直线为y=k（x-2）-2，联立：，消去y，得
即x²-2kx+4（k+1）=0（*），
∵直线与抛物线相切，∴△=0，即4k²-16（k+1）=0
∴k²-4k-4=0，∴，此时，方程（*）有等根x=k，
∴x_B=，x_A=，
∴x_B-x_A=，x_B+x_A=4．
∵A、B在抛物线上，
∴y_B-y_A=
∴|AB|=．
（3）设M（m，-2p），过M点的直线为L：y=k（x-m）-2p，联立：，消去y，得，
∴x²-2kpx+2p（km+2p）=0①，
∵直线与抛物线相切，∴△=0
∴4k²p²-8p（km+2p）=0，∴pk²-2mk-4p=0②，此时方程①有等根x=kp，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁-x₂=p（k₁-k₂），y₁-y₂==，
∴AB的斜率k′==，
由②，根据韦达定理可得，∴k′=，
∴直线AB的方程为，
∴
∴化简可得，
∴，
由②pk²-2mk-4p=0，∴，
∴AB方程化为：2mx-2py+4p²=0，
∴点M到AB的距离d==，
当且仅当，即m²+p²=3p²，
∴时，上式等号成立，
∴M到直线AB的距离的最小值为．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查基本不等式的运用，综合性强．