题目内容

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， $数学公式$ ，AB=AC=2，AA₁=6，点E、F分别在棱AA₁、CC₁上，且AE=C₁F=2．
（1）求四棱锥B-AEFC的体积；
（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．

解：（1）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，所以A₁A⊥底面ABC，所以A₁A⊥AB，
又AB⊥AC，AC∩A₁A=A，所以AB⊥面AA₁C₁C，则AB为四棱锥B-AEFC的高．
在直角梯形AEFC中，因为AE=2，AC=2，CF=4，所以 $\text{[math]}$ ．
所以V_B-AEFC= $\text{[math]}$ ．
（2）以A为坐标原点，分别以AC，AB，AA₁所在直线为x，y，z建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），F（2，0，4），
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
设平面BEF的法向量为 $\text{[math]}$ ，则
$\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，取z=1，得x=-1，y=1．
所以 $\text{[math]}$ ．
平面ABC的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ．
所以△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知条件可判出AB⊥面AA₁C₁C，求出直角梯形AEFC的面积，则四棱锥B-AEFC的体积可求；
（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC与平面BEF的法向量，利用平面法向量所成角的余弦值得△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．
点评：本题考查了椎体体积的求解方法，考查了利用空间向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间坐标系，是中档题．