Question

数列{a_n}(n∈N^*)中，a₁=1,且点(a_n,a_n+1)在直线l:2x-y+1=0上.

(1)设b_n=a_n+1,求证：数列{b_n}是等比数列；

(2)设c_n=n(3a_n+2),求{c_n}的通项公式；

(3)T_n是{c_n}的前n项和，试比较2T_n与23n²-13n的大小.

Answer 1

(1)证明：∵点(a_n,a_n+1)在直线l:2x-y+1=0上，

    ∴a_n+1=2a_n+1.

    ∴b_n+1=a_n+1+1=2a_n+2.

    ∵b_n=a_n+1≠0,∴==2.

    ∴数列{b_n}是首项为2,公比为2的等比数列.

(2)解：由(1)可得a_n=2ⁿ-1,

    ∴c_n=n(3·2ⁿ-1)=3n·2ⁿ-n.

(3)解：T_n=3(2+2·2²+3·2³+…+n·2ⁿ)-(1+2+…+n)

    =3×［(n-1)·2ⁿ⁺¹+2］-.

    ∴I=2T_n-(23n²-13n)=12(n-1)2ⁿ-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)(2ⁿ-2n-1).

    当n=1时，I=0,2T_n=23n²-13n;

    当n=2时，I=-12＜0,∴2T_n＜23n²-13n;

    当n≥3时，I＞0,∴2T_n＞23n²-13n.

    用数学归纳法证明如下：当n=3时，I=24＞0.

    假设n=k(k≥3,k∈N^*)时成立,

    即I=12×(k-1)(2^k-2k-1)＞0,即2^k＞2k+1.

    当n=k+1时，I=12×(k+1-1)［2^k+1-2(k+1)-1］

    =12k(2^k·2-2k-3)

    ＞12k·［2(2k+1)-2k-3］

    =12k(2k-1).

    ∵k≥3,∴I＞0.

    综上,可知n≥3时I＞0.