Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量

m

=（b+a，-c），

n

=（b+c，b-a）．且

m

∥

n

．
（I）求cos2(

π

4

+A)-sin2(

π

4

+A)的值；
（II）若b=4，△ABC的面积为

3

，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（I）通过向量的平行，得到余弦定理的关系式，求出cosA，sinA的值，利用二倍角公式化简cos2(

π

4

+A)-sin2(

π

4

+A)，代入cosA，sinA的值得到结果；
（II）利用b=4，△ABC的面积为

3

，求出c的值，利用余弦定理求出a 的值，然后求△ABC的周长．

解答：解：（I）由已知

m

=(b+a，-c)，

n

=(b+c，b-a)且

m

∥

n

．
可得（b+a）（b-a）=-c（b+c）
即b²-a²=-bc-c²．
所以在△ABC中，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
所以sinA=

3

2

cos2(

π

4

+A)-sin2(

π

4

+A)
=cos2（

π

4

+A）=-sin2A=-2sinAcosA
=-2×

3

2

×(-

1

2

)=

3

2

（II）因为S△ABC=

1

2

bcsinA
即

3

=

1

2

×4c×

3

2

得c=1
于是a²=b²+c²-2bccosA=4²+1²-2×4×1×(-

1

2

)=21
a=

21

所以△ABC的周长a+b+c=5+

21

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量平行的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．