Question

设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.
（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，证明直线的斜率 满足

Answer 1

(1)     （2）
【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，以及数形结合的数学思想方法.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力

(1)解：设点P的坐标为.由题意，有 ①
由，得，
由，可得，代入①并整理得
由于，故.于是，所以椭圆的离心率
（2）证明：（方法一）
依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.
由条件得消去并整理得 ②
由，及，
得.
整理得.而，于是，代入②，
整理得
由，故，因此.
所以.
(方法二)
依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.
由P在椭圆上，有
因为，，所以，即  ③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.