Question

△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，角A满足cos2A+cosA=0．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若b+c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）根据二倍角的余弦公式化简题中的等式，可得2cos²A+cosA-1=0，结合0＜A＜π解出cosA=

1

2

，从而可得角A的大小；
（II）由题意利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，化简整理得到（b+c）²-3bc=1，结合b+c=2解出bc=1．再根据三角形的面积公式加以计算，即可得出△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵cos2A=2cos²A-1，cos2A+cosA=0，
∴2cos²A+cosA-1=0，解得cosA=

1

2

或cosA=-1
又∵0＜A＜π，cosA=-1不符合题意，舍去．
∴cosA=

1

2

，可得A=

π

3

；
（Ⅱ）∵a=1，A=

π

3

，
∴根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
可得1=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc，
又∵b+c=2，∴1=2²-3bc，解之得bc=1．
因此，△ABC的面积S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．

点评：本题给出三角形的角A满足的三角函数等式，求角A的大小，并在已知边a与三角形周长的情况下求△ABC的面积．着重考查了二倍角的三角函数公式、余弦定理与三角形的面积计算等知识，属于中档题．